Arrancamos con el tema de estudio de funciones usando la derivada. Si no te acordás de ésto andá al curso, que es la segunda parte de derivadas.  ¡Empecemos!

$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} $

2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = 3x^{4} + 4x^{3} - 12x^{2} + 7 $
$ f'(x) = 12x^{3} + 12x^{2} - 24x $

3. Buscamos los puntos críticos:
  3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R}. \) No obtuvimos puntos críticos de acá.
  3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ 12x^{3} + 12x^{2} - 24x = 0 $
Factorizamos la derivada:
$ 12x(x^{2} + x - 2) = 0 $
Resolvemos la ecuación cuadrática \( x^{2} + x - 2 = 0 \):
$ x = -2, x = 1, x = 0 $


4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:

-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, -2) \): \( f'(-3) = 12(-3)^{3} + 12(-3)^{2} - 24(-3) = -324 + 108 + 72 = -144 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-2, 0) \): \( f'(-1) = 12(-1)^{3} + 12(-1)^{2} - 24(-1) = -12 + 12 + 24 = 24 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0,5) = 12(0,5)^{3} + 12(0,5)^{2} - 24(0,5) = 1,5 + 3 - 12 = -7,5 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, +\infty) \): \( f'(2) = 12(2)^{3} + 12(2)^{2} - 24(2) = 96 + 48 - 48 = 96 \). Es decir que \( f \) crece.


5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = -2 \), \( x = 0 \), y \( x = 1 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:

-> \( x = -2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.

-> \( x = 1 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.

Podemos hallar las coordenadas de los máximos y mínimos sustituyendo los valores de $x$ en la función \( f(x) \):
$ f(-2) = 3(-2)^{4} + 4(-2)^{3} - 12(-2)^{2} + 7 = 48 - 32 - 48 + 7 = -25 $
$ f(0) = 3(0)^{4} + 4(0)^{3} - 12(0)^{2} + 7 = 7 $
$ f(1) = 3(1)^{4} + 4(1)^{3} - 12(1)^{2} + 7 = 3 + 4 - 12 + 7 = 2 $


Respuesta:
Intervalo de crecimiento: \( (-2, 0) \cup (1, +\infty) \) Intervalo de decrecimiento: \((- \infty, -2) \cup (0, 1) \) Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, 7) \) Mínimo relativo en \( x = -2 \) con coordenada \( (-2, -25) \) Mínimo relativo en \( x = 1 \) con coordenada \( (1, 2) \)